Lineare Algebra Beispiele

$2 x + y = 5 z + 8 w$ , $x = z + 2 w$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $5 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + y - 5 z = 8 w, x = z + 2 w$

Schritt 1.2

Subtrahiere $8 w$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + y - 5 z - 8 w = 0, x = z + 2 w$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + y - 5 z - 8 w = 0, x - z = 2 w$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2 w$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + y - 5 z - 8 w = 0, x - z - 2 w = 0$

Schritt 3

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} - 8 & 2 & 1 & - 5 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8} \cdot - 8 & - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 1 & - \frac{1}{8} \cdot - 5 & - \frac{1}{8} \cdot 0 \\ - 2 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{1}{4}) & 0 + 2 (- \frac{1}{8}) & - 1 + 2 (\frac{5}{8}) & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $2$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $2$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (- \frac{1}{4}) & 2 (\frac{1}{4}) & 2 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} & \frac{5}{8} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 4.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1 & - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{2}) & \frac{5}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} & 0 + \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 5

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$w - \frac{y}{4} + \frac{3 z}{4} = 0$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 0$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $w$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Addiere $\frac{y}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$w + \frac{3 z}{4} = \frac{y}{4}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $\frac{3 z}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$w = \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 0$

$w = \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 0$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Addiere $\frac{y}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + \frac{z}{2} = \frac{y}{2}$

$w = \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $\frac{z}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{y}{2} - \frac{z}{2}$

$w = \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}$

$x = \frac{y}{2} - \frac{z}{2}$

$w = \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}$

Schritt 8

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(\frac{y}{4} - \frac{3 z}{4}, \frac{y}{2} - \frac{z}{2}, y, z)$

Schritt 9

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} w \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{4} - \frac{3 z}{4} \\ \frac{y}{2} - \frac{z}{2} \\ y \\ z \end{array}]$